Laplace-Transformation und  lineare Differentialgleichungen

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Die traditionelle Theorie der Laplace-Transformation (TLT), deren gegenwärtig vorherrschende Form von Gustav Doetsch
entwickelt wurde, ist in fundamentalen Belangen unzureichend [70], [71], [77], [107]. Die TLT wurde als eigenständige
mathematische Theorie bezeichnet, und es wurde behauptet, dass dieselbe die strenge Begründung der Operatorenmethode
zur Lösung von linearen Differentialgleichungen darstelle. Diese Behauptung erweist sich als unhaltbar.

Weil das Transformationsintegral der LT "unilateral" ist, indem es sich von t=0 nach t->+oo erstreckt, ist die
L-Transformierte L[f(t)} einer reellen Funktion f(t) unabhängig vom Verlauf dieser Funktion im Intervall t<0. In der TLT
wird fälschlicherweise unterstellt, dass der Bereich t<0 auch dann irrelevant sei, wenn die LT zur Lösung von linearen
Dgln benutzt wird. Diese Annahme ist ein schwerwiegender Irrtum.

Um zu verstehen, was hier gemeint ist, braucht man nur eine inhomogene Dgl erster Ordnung mit der Erregungsfunktion
(Störfunktion) x(t)=const nach der konventionellen Theorie der linearen Dgl zu lösen und die Lösung mit derjenigen zu
vergleichen, die man mit der TLT-Methode erhält. Die beiden Lösungen sind erheblich voneinander verschieden. Der
Unterschied ergibt sich hauptsächlich daraus, dass die mit LT gewonnene Lösung nicht zur Erregungsfunktion x(t)=const
gehört, sondern zu x(t)=const u(t), wobei u(t) die Einheitssprungfunktion bezeichnet: u(t)=0 für t<0; u(t)=1 für t>0. Die
Diskrepanz der beiden Lösungen verschwindet auch im Intervall t>0 keineswegs.

Die Diskrepanz geht darauf zurück, dass L-Transformierte, ebenso wie Fourier-Transformierte,  t-Funktionen repräsentieren, welche
im gesamten Bereich -oo<t definiert sind, wobei die durch eine L-Transformierte repräsentierte t-Funktion stets kausal ist. (Dem
üblichen Sprachgebrauch folgend wird eine Funktion f(t) als kausal bezeichnet, wenn f(t)=0 für t<0.) Der Unterschied zwischen
einer bilateralen Funktion f(t) und ihrer kausalen Variante u(t)f(t) wird durch L-Transformation zum Verschwinden gebracht, weil
L{f(t)}=L{u(t)f(t)}. Die Rücktransformierte von L{f(t)} ist für t<0 stets gleich 0. Daher ist die Rücktransformierte stets gleich
u(t)f(t). In diesem Sinne repräsentiert die L-Transformierte von f(t) stets die kausale Funktion u(t)f(t), unabhängig davon, ob f(t)
selbst kausal ist oder nicht. (Falls f(t) selbst kausal ist, gilt u(t)f(t)=f(t) [107].).


Mittels LT kann man die korrekte Lösung einer inhomogenen Dgl
ausschließlich für kausale Erregungsfunktionen erhalten


Die mittels LT ermittelte Lösung der inhomogenen linearen Dgl geht in jedem Falle aus derjenigen Erregungsfunktion
hervor, welche durch L{x(t)} repräsentiert wird, nicht ohne weiteres aus x(t) selbst. Weil die korrekte Lösung der Dgl für eine
bilaterale Erregungsfunktion sich von derjenigen für eine kausale Erregungsfunktion unterscheidet, kann die mit LT gewonnene
Lösung einzig und allein mit u(t)x(t) kompatibel sein. Falls man also Wert darauf legt, dass die Lösung korrekt ist, muss man  die
Anwendung der LT auf  Dgln mit kausalen Erregungsfunktionen beschränken. Somit kommt dem Unterschied zwischen
bilateralen und kausalen Erregungsfunktionen - und damit dem Verhaltenen von x(t) für t<0 - entscheidende Bedeutung zu.
 
Die Tatsache, dass kausale Funktionen im Zusammenhang mit LT eine besondere Rolle spielen, wurde im Bereich der TLT
zwar nicht vollständig übersehen; sie hat aber kaum Beachtung gefunden. Die TLT ist weit davon entfernt, die soeben
beschriebenen Implikationen der LT klar erkannt zu haben - ganz zu schweigen vom Versuch, daraus Konsequenzen zu ziehen.
Die TLT ermangelt der mathematischen Infrastruktur, welche zur adäquaten Berücksichtigung des Unterschieds zwischen
bilateralen und kausalen Funktionen erforderlich ist. Die TLT, welche eine unilaterale Theorie der unilateralen LT darstellt,
muss daher durch die bilaterale Theorie der unilateralen LT ersetzt werden [107]. (Die letztere Theorie darf nicht mit der
bekannten Theorie der "zweiseitigen" LT verwechselt werden.)


Die evozierte Antwort ist eine kausale Funktion

Die Tatsache, dass die durch L{x(t)} repräsentierte effektive Erregungsfunktion stets kausal ist, hat die Konsequenz, dass
auch der Beitrag, den x(t) zur Gesamtlösung der Dgl leistet - die evozierte Antwortfunktion - eine kausale Funktion ist. Dies
wiederum hat zur Folge, dass die Übersetzung der inhomogenen Dgl in den L-Bereich durch das Ableitungstheorem für
kausale Funktionen
beherrscht wird.  Dieses Theorem unterscheidet sich vom Ableitungstheorem der TLT insofern, als es
keine Konstante enthält. Wenn man daher die Dgl mit dem Ableitungstheorem für kausale Funktionen in den L-Bereich
übersetzt, so entsteht zwangsläufig eine lineare algebraische Gleichung für die L-Transformierte der evozierten
Antwortfunktion. Die separate evozierte Lösung der ursprünglichen Dgl ergibt sich also allein dadurch, dass man auf die
ursprüngliche inhomogene Dgl das Ableitungstheorem für kausale Funktionen anwendet [107].


Die Methode zur Lösung von linearen Differentialgleichungen

Auf der Basis der evozierten Lösung, deren Gewinnung mittels LT soeben skizziert wurde, erhält man die Gesamtlösung
der Dgl (die allgemeine Lösung) einfach durch Addition der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Dgl. Die
neue Methode, welche in [107} beschrieben ist, gehorcht deshalb strikt dem Prinzip, wonach die allgemeine Lösung der
inhomogenen Dgl durch Überlagerung einer partikulären Lösung der inhomogenen Dgl mit der allgemeinen Lösung der
zugehörigen homogenen Dgl entsteht. (Die TLT verstößt unvermeidlich gegen dieses fundamentale Prinzip.)

Im folgenden wird die neue Methode in gedrängter Form dargestellt, und zwar für die inhomogene Dgl

a0y(t) + a1y'(t )+ a2y''(t) + ... + aNy(N)(t) = b0x(t) + b1x'(t) + b2x''(t) + ... + bMx(M)(t).                (1)

x(t) bezeichnet die Erregungsfunktion (Störfunktion); y(t) bezeichnet die Antwortfunktion. Die Koeffizienten an, bm seien
reelle Konstanten. N gibt die höchste auftretende Ableitung der Antwortfunktion an (N = 1, 2, ...); M die höchste Ableitung
der Erregungsfunktion (M = 0, 1, ...)


Die evozierte Lösung

In [107] habe ich beschrieben, dass (und warum) die evozierte Antwortfunktion ye(t), die zu irgend einer Dgl der Form (1)
gehört,  durch die Formel

ye(t} = L-1{ L{x(t)}B(s)/A(s) };            -oo < t               (2)

dargestellt wird. Darin steht der Operator L-1 für Rücktransformation. A(s) und B(s) sind Polynome der Form

A(s) =  a0 + a1s + a2s2 + ... + aNsN               (3)

B(s) = b0 + b1s + b2s2 + ... + bMsM.               (4)

In der Mehrzahl der Anwendungen dürfte nur die evozierte Lösung von Interesse sein. In diesem Fall beschränkt sich die
Prozedur auf (a) die L-Transformation der Erregungsfunktion und (b) die Rücktransformation des gemäß (2) entstehenden
Ausdrucks. Das Verfahren ist einfach, und es genügt eine oberflächliche Kenntnis der Theorie der LT. Allerdings kann sich
die Rücktransformation im Einzelfall als ebenso schwierig erweisen, wie dies von der TLT her bekannt ist. Jedoch kommt
man in einer beträchtlichen Zahl von Fällen mit einer guten Tabelle der LT-Korrespondenzen aus.

Wenn man eine solche Tabelle benutzt, muss man besonders beachten, dass die Rücktransformierte stets eine kausale
Funktion ist. Das bedeutet, dass die meisten der t-Funktionen mit u(t) multipliziert werden müssen. Ausnahmen von dieser
Regel bilden beispielsweise die Einheitssprungfunktion u(t) sowie deren (Pseudo-)Ableitungen, weil dies von vorn herein
kausale Funktionen sind.

Das Verfahren sei am Beispiel der Dgl

ay(t) + y'(t) = u(t)               (5)

verdeutlicht. (Man beachte, dass u(t) eine kausale Funktion ist.) Nach (2-4) lautet die evozierte Lösung von (5)

ye(t) = L-1{ 1/[s(a+s)] } = u(t)[1-exp(-at)]/a ;                -oo < t.               (6)

(Die korrekte Darstellung kausaler Funktionen wie ye(t) im Punkt t=0 setzt voraus, dass u(t) in diesem Punkt definiert ist;
vgl. [107].)

Man beachte, dass sich aus (2) genau die gleiche Lösung (6) ergibt, wenn man in (5) u(t) durch die Konstante 1 ersetzt. Das
liegt daran, dass L{1}=L{u(t)}=1/s. Für die Erregungsfunktion x(t)=1 ist diese Lösung aber falsch. Die korrekte evozierte
Lösung lautet für diesen Fall ye(t)=1/a.


Die spontane Lösung

Wenn man von der ursprünglichen inhomogenen Dgl (1) die entsprechende Dgl für die evozierte Antwortfunktion
subtrahiert, so bleibt die zugehörige homogene Dgl übrig. Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl wird durch die
sogenannte spontane Antwortfunction ys(t) dargestellt. Die spontane Antwort ist die "Antwort auf nichts" des zugehörigen
linearen Systems. Wie üblich, wird die spontane Antwort auf einen vorerregten Anfangszustand des Systems zurückgeführt,
das heißt, einen Zustand, welcher nicht durch x(t) verursacht ist.

Der derart definierte Anfangszustand eines linearen Systems hat keinen Einfluss auf die evozierte Antwort. Deshalb ist die
Ermittlung der spontanen Lösung (zusätzlich zur evozierten Lösung) optional. Sie ist nur erforderlich, wenn die spontane
Antwort für sich genommen von Bedeutung ist.

Wei die Bestimmung der spontanen Lösung vollkommen unabhängig von derjenigen der evozierten Lösung ist, kann für die
Ermittlung der spontanen Lösung jede verfügbare mathematische Methode benutzt werden. In [107] habe ich eine neue,
auf der LT basierende Methode beschrieben, welche die allgemeine Lösung der linearen homogenen Dgl liefert. Die damit
gewonnene spontane Lösung lässt sich ebenfalls durch eine Formel ausdrücken. Diese lautet

u(t)ys(t) = L-1{ C(s)/A(s) };            -oo < t.               (7)

worin A(s) das Polynom (3) bezeichnet, und C(s) ein Polynom der Form

C(s) = c0 + c1s + c2s2 + ... + cN-1sN-1               (8)

ist. Die Koeffizienten cn von C(s) sind beliebige Konstanten. Jede Kombination von Werten dieser Konstanten definiert
einen der möglichen Anfangszustände des Systems.

Die spontane Antwortfunktion, das heißt, die Lösung der homogenen Dgl endlicher Ordnung N, ist stets eine gewöhnliche
differenzierbare (bilaterale) Funktion. Andererseits ist die Rücktransformierte stets eine kausale Funktion. Dies ist der
Grund dafür, dass man durch Rücktransformation des in (7) auf der rechten Seite stehenden Ausdrucks zunächst die kausale
Funktion u(t)ys(t) erhält, anstelle von ys(t) selbst. Weil jedoch bekannt ist, dass ys(t) eine gewöhnliche bilaterale Funktion ist,
kann man diese vollständig gewinnen, indem man die "Kausalität" der Rücktransformierten rückgängig macht. Das kann
formal dadurch geschehen, dass man in (7) nach erfolgter Rücktransformation den "Faktor" u(t) herauskürzt.

Zum Beispiel wird die spontane Antwortfunktion der Dgl (5) durch den Ausdruck

u(t)ys(t) = L-1{ c0/(a+s) } = u(t)c0exp(-at)               (9)

bestimmt. Die spontane Antwortfunktion selbst lautet daher

ys(t) = c0exp(-at);             -oo < t.                    (10)


Die allgemeine Lösung

Weil die allgemeine Lösung von (1) gleich der Summe der evozierten und spontanen Lösungen ist, sind die N Konstanten
der spontanen Lösung zugleich die Konstanten der allgemeinen Lösung. Damit stellt die Summe

y(t)  = ye(t) + ys(t)                    (11)

die wirkliche allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl (1) dar, und diese Lösung gilt für den gesamten t-Bereich.

Das durch (11) ausgedrückte Überlagerungsprinzip gilt zwar für beliebige Erregungsfunktionen der Dgl; aber wenn
ye(t) durch LT gewonnen wird,  gilt die Lösung nur für kausale Erregungsfunktionen, wie eingangs betont.

Die allgemeine Lösung der Dgl erster Ordnung (5) lautet nach (11) mit (6) und (10)

y(t) = u(t)[1-exp(-at)]/a + c0exp(-at);            -oo < t.               (12)


Die Konstanten

Wie in [107] dargestellt, stehen die Koeffizienten des Polynoms C(s) in einem wohldefinierten linearen Zusammenhang
mit den Koeffizienten der homogenen Dgl sowie mit den Anfangswerten der spontanen Antwortfunktion. Dieser
Zusammenhang wird durch die Ausdrücke

c0 = a1ys(0) + a2ys'(0) + ... + aNys(N-1)(0);

c1 = a2ys(0) + a3ys'(0) + ... + aNys(N-2)(0);

    . . .

cN-2 = aN-1ys(0) + aNys'(0);

cN-1 = aNys(0)                                                                       (13)

beschrieben.  Was die allgemeine Lösung der Dgl angeht, so hat man damit die Wahl, entweder die Koeffizienten cn
unmittelbar als willkürliche Konstanten zu behandeln, oder die Anfangswerte ys(0), ys'(0) etc. vorzuschreiben.
Im letzteren Fall ergeben sich die Konstanten c0....cN-1 aus (13).

Für das vorliegende Beiepiel, das heißt, die allgemeine Lösung (12) von (5), ergibt sich c0=ys(0).


Vergleich mit der Lösung nach TLT

Die Lösung der Dgl (5), welche man mit der TLT-Methode erhält, lautet

y(t) = [1-exp(-at)]/a + y(0)exp(-at)           für  t > 0.                    (14)

Sie stimmt mit (12) bis auf die Konstante und das Definitionsintervall  überein. Man könnte also meinen, dass die TLT im
Großen und Ganzen jedenfalls für t>0 die korrekte Lösung liefere, falls man eine kausale Erregungsfunktion voraussetzt.
Aber diese Schlussfolgerung wäre falsch. Die Konstante y(0) - der Anfangswert der Gesamtlösung y(t) - ist der Konstanten
c0=ys(0) von (12) keineswegs äquivalent. Der Unterschied wird durch (11) ausgedrückt. Daraus kann in den Anwendungen
der TLT der sogenannte Anfangswertkonflikt entstehen [107].



Author: Ernst Terhardt terhardt@ei.tum.de - Feb 2007


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